ShaSha Sharing :): Makalah Probabilitas statistika

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam hidup kita sering mengalamai hal-hal yang mungkin pernah kita alami. Dari kejadian yang pernah kita alami tersebut kadang kita bisa memberikan pandangan kepada orang lain yang sedang mengalami kejadian seperti kita dulu.

Bagi mereka yang lebih kreatif kejadian yang pernah dialaminya dimasa lalu atau bahkan kejadian yang dialami orang lain dijadikan ramalan untuk masa depan seseorang yang dipandangnya menyerupai seseorang tadi. Kadang kita dalam hidup ini perlu yakin adanya kemungkinan-kemungkinan yang akan terjadi dikemudian hari ketika kita melakukan suatu kegiatan. Hal ini diperlukan untuk menjadikan perhatian dan pertimbangan dalam kita melankah yang kita ambil dari kejadian-kejadian sebelumnya.

Sebagai gambaran yang realistis adalah ketika ada teman kita yang terjatuh ketika melewati jembatan A, maka kita sebagai orang yang ingin melewati jembatan A mesti perlu dipertimbangkan tentang kejadian sebelumnya. Bisa jadi kita akan mengalami seperti orang-orang sebelumnya ketika melewati jambatan tersebut.

Dalam makalah ini, penulis ingin menguak tentang kemungkinan-kemungkinan dalam hidup yang didasarkan pada kejadian-kejadian dimasa lalu. Makalah yang hendak penulis buat ini adalah mengenai Probabilitas atau kemungkinan.

1.2 Rumusan Masalah

1) Apa pengertian dari probabilitas?

2) Apa manfaat probabilitas dalam penelitian)

3) Bagaimana cara menghitung probabilitas atau peluang suatu kejadian?

1.3 Tujuan Pembelajaran

1) Untuk mengetahui pengertian probabilitas

2) Untuk mengetahui manfaat probabilitas dalam penelitian

3) Untuk mengetahui cara menghitung probabilitas atau peluang suatu kejadian

BAB II

PENDAHULUAN

2.1 Pengertian Probabilitas

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus kita tentukan memilih yang mana. Biasanya kita dihadapkan dengan kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi dan kita harus pintar-pintar mengambil sikap jika menemukan keadaan seperti ini, misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langit terlihat mendung. Dalam keadaaan ini kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu kemungkinan terjadinya hujan serta kemungkinan langit hanya mendung saja dan tidak akan turunnya hujan. Statistic yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas.

Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah satu, jika kejadian tersebut hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.

Contoh : Ketika doni ingin pergi kerumah temannya, dia melihat langit dalam keadaan mendung, awan berubah warna menjadi gelap, angin lebih kencang dari biasanya seta sinar matahari tidak seterang biasanya.

Bagaimanakah tindakan Doni sebaiknya?

Ketika Doni melihat keadaan seperti itu, maka sejenak dia berpikir untuk membatalkan niatnya pergi kerumah temannya. Ini dikarenakan dia beripotesis bahwa sebentar lagi akan turunya hujan dan kecil kemungkinan bahwa hari ini akan tidak hujan, mengingat gejala-gejala alam yang mulai nampak.

Probabilitas dalam cerita tadi adalah peluang kemungkinan turunnya hujan dan peluang tidak turunnya hujan.

2.2 Manfaat Probabilitas Dalam Penelitian

Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain;

· Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat. Pengambilan keputusan yang lebih tepat dimagsudkan tidak ada keputusan yang sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak ada yang pasti kita ketahui dari sekarang, karena informasi yang didapat tidaklah sempurna.

· Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.

Menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis (perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya) yang terkait tentang karakteristik populasi pada situssi ini kita hanya mengambil atau menarik kesimpulan dari hipotesis bukan berarti kejadian yang akan dating kita sudah ketehaui apa yang akan tertjadi.

· Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi.

Contoh:

Ketika diadakannya sensus penduduk 2000, pemerintah mendapatkan data perbandingan antara jumlah penduduk berjenis kelamin laki-laki berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin perempuan adalah memiliki perbandingan 5:6, sedangkan hasil sensus pada tahun 2010 menunjukan hasil perbandingan jumlah penduduk berjenis kelamin pria berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin wanita adalah 5:7. Maka pemerintah dapat mengambil keputusan bahwa setiap tahunnya dari tahun 2000 hingga 2010 jumlah wanita berkembang lebih pesat daripada jumlah penduduk pria.

2.3 Menghitung Probabilitas atau Peluang Suatu Kejadian

2.3.1 Probabilitas Suatu Peristiwa

Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa diantara seluruh peristiwa yang mungkin terjadi. Probabilitas kemunculan suatu peristiwa atau kejadian biasa disingkat dengan huruf p dan dinyatakan dalam persen atau proporsi.

- Pendekatan Klasik

Perhitungan probabilitas secara klasik didasarkan pada asusmsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama. Pada pendekatan ini, kita harus mengetahui terlebih dahulu seluruh kejadian yang akan muncul, yang dalam prakteknya sulit untuk dilaksanakan. Untuk mempermudah pemahaman, diberikan gambaran sebagai berikut:

Perhatikan suatu kejadian A yang dapat terjadi sebanyak x cara dari seluruh n cara; misalnya ada n barang, x rusak, (n-x) tidak rusak. Kalau kita mengambil suatu barang secara acak (random), lalu ditanyakan berpa probabilitasnya bahwa barang yang diambil tersebut rusak? Maksudnya berapa P(A)?

Ada x barang rusak, ada x cara untuk memperoleh barang yang rusak dari seluruh barang sebanyak n, A = barang yang rusak, merupakan suatu kejadian atau event.

(a)

(b)

Jika x = 0, maka P(A) =

, tidak afa barang rusak. Jika x=n, maka P(A) =

, jika semua barang rusak. Jadi, 0 ≤ P(A) ≤ 1, A sering disebut Sukses dan

sering disebut Gagal. Artinya, probabilitas terjadinya A, yaitu P(A), nilainya paling kecil 0 dan paling besar 1.

CONTOH :

Kepala pabrik mengatakan bahwa dari 100 barang produksinya, ada 25 yang rusak. Kalau barang dibungkus rapi, kemudian seorang pembeli mengambil satu barang secara acak. Berapakah probabilitasnya bahwa barang tersebut rusak?

Penyelesaian :

Dari soal, n = 100 dan x = 25. Dengan demikian

2.3.2 Kejadian Saling Meniadakan (mutually exclusive)

Aturan penjumlahan yang ditetapkan untuk kejadian yang saling meniadakan disebut dengan aturan penjumlahan khusus. Kejadian saling meniadakan (mutually exclusive event) adalah kejadian dimana jika sebuah kejadian terjadi, maka kejadian yang kedua adalah kejadian yang saling meniadakan. Jika A telah terjadi , maka kejadian B tidak akan terjadi. Sebagai contoh, dalam pelemparan sebuah dadu, munculnya mata dadu 2 dan 3 tidak bisa terjadi secara bersamaan, sehingga munculnya mata dadu 2 akan meniadakan munculnya mata dadu lain.

Jika dua kejadian A dan B saling meniadakan (saling lepas), aturan penjumlahan menyatakan bahwa probabilitas terjadinya A atau B sama dengan penjumlahan dari masing-masing nilai probabilitasnya dan dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

P(A atau B) = P(A

B) = P(A) + P(B)

CONTOH :

Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peristiwanya adalah

A = peristiwa mata dadu 4 muncul

B = peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 muncul

Tentukan probabilitas Mata dadu 4 atau lebih kecil dari 3 muncul!

Penyelesaian :

P(A) =

P(B)

P(A

B) = P(A) + P(B)

2.3.3 Kejadian Tidak Saling Meniadakan (non mutually exclusive)

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling meniadakan apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Adakalanya hasil dari suatu eksperimen tidak bersifat saling meniadakan. Secara ringkas, aturan umum penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan pada dua kejadian A dan B dapat ditulis:

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)

Atau

P(A

B) = P(A) + P(B) – P(A

*catatan : P(A atau B) atau P(A

B) dapat dinyatakan dalam bentuk kalimat “peluang bahwa A mungkin terjadi dan B mungkin terjadi”. Kalimat ini juga mencakup “kemungkinan bahwa A dan B terjadi” dalam hal kejadian yang tidak saling meniadakan.

Contoh :

Dalam satu set kartu terdapat gambar raja (king) sebanyak 4 buah, dan gambar hati (Heart) sebanyak 13 buah. Karena di antara 4 kartu raja juga ada yang bergambar Hati, maka kejadian terpilihnya kartu bergambar raja atau Heart merupakan kejadian yang bersifat “bukan saling meniadakan”. Peluang/Probabilitas masing-masing kejadiannya adalah…

Penyelesaian :

Kartu Raja = P(A) =

Kartu Hati = P(B) =

Raja bergambar hati = P(A

B) =

P(A

B) = P(A) + P(B) – P(A

2.3.4 Kejadian Bebas (Independent Event)

Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas. Apabila kejadian A tidak mempengaruhi B atau sebaliknya.

P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = P(B) x P(A)

Contoh :

Dari 100 barang yang diperiksa terdapat 20 barang yang rusak. Berapa probabilitas untuk mendapatkan barang yang bagus (baik) jika dilakukan dua kali pengambilan barang tersebut (barang yang telah diambil dikembalikan lagi)

Penyelesaian :

P (barang baik) =

(barang rusak) =

A = pengambilan pertama barang baik

B = pengambilan kedua barang baik

P(A ∩ B) = P(X) x P(Y)

= 0,8 x 0,8 = 0,64

2.3.5 Kejadian Tak Bebas (Bersyarat / dependent event)

Dua peristiwa dikatakan dependen (bersyarat) adalah jika terjadinya peristiwa yang satu akan mempengaruhi atau merupakan syarat terjadinya peristiwa yang lain.

Untuk menghitung probabilitas bersyarat, seolah-olah kita sudah mengetahui P(A ∩ B), P(A) dan P(B). Berdasarkan apa yang kita ketahui tersebut , kita akan menghitung P(A/B) atau P(B/A). Dalan prakteknya, sering kali sukar untuk menghitung P(A ∩ B). Untuk menghitung P(A ∩ B), rumus yang digunakan sering disebut Aturan Umum dari perkalian probabilitas, sebagai berikut:

P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)

Rumus tersebut yang berarti bahwa P(A ∩ B) = probabilitas bahwa A dan B terjadi secara simultan, sebetulnya merupakan hasil kali dari probabilitas dua kejadian.

P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)

P(A) = probabilitas bahwa A terjadi.

P(B/A) = probabilitas B terjadi dengan syarat A terjadi.

Contoh :

Kita mengambil secara acak 2 kartu berturut-turut dari suatu set kartu bridge. Berapa probabilitasnya bahwa pengambilan kartu pertama berupa kartu King, dan yang kedua juga kartu King? (Hasil pengambilan pertama tidak di kembalikan)

Penyelesaian :

S = 52 kartu

A = pengambilan pertama kartu king (a=4)

B|A = pengambilan kedua juga kartu king dengan syarat bahwa pengambilan pertama kartu King (b=3, N=51)

P(A) =

, P(B) =

P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)

2.3.6 Probabilitas Marginal

Di dalam praktek, kita sering kali menjumpai suatu kejadian yang terjadi bersamaan dengan kejadian lainnya, di mana kejadian lainnya tersebut mempengaruhi terjadinya kejadian yang pertama.

P(R) = ∑ P (S_i) P (R/S_i)

Contoh :

Di sebuah Universitas mempunyai mahasiswa sebanyak 1.000 orang yang terdiri dari 4 Fakultas, yaitu FE=400 mahasiswa, FH=200 mahasiswa, FT=150 mahasiswa, dan FP=250 mahasiswa.

Dari mahasiswa tersebut ada yang menjadi anggota Menwa. Diketahui probabilitas anggota menwa dari FE = 0,50 ; FH = 0,25 ; FT = 0,167 ; FP = 0,60

Jika suatu saat kita bertemu dengan salah seorang mahasiswa, berapa probabilitas bahwa mahasiswa tersebut seorang anggota Menwa?

Penyelesaian :

Contoh 2 :

ž Di sebuah Universitas mempunyai mahasiswa sebanyak 1.000 orang yang terdiri dari 4 Fakultas, yaitu FE=400 mahasiswa, FH=200 mahasiswa, FT=150 mahasiswa, dan FP=250 mahasiswa.

ž Dari mahasiswa tersebut ada yang menjadi anggota Menwa. Dari FE=200 orang, FH=50 orang, FT=25 orang, dan FP=l50 orang.

ž Jika suatu saat kita bertemu dengan salah seorang mahasiswa, berapa probabilitas bahwa mahasiswa tersebut seorang anggota Menwa?

Penyelesaian :

2.3.7 Peluang Kejadian Majemuk

Terbagi menjadi 3 yaitu :

- Gabungan dari 2 Kejadian

RUMUS : P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

- Kejadian Saling Lepas

Terjadi apabila kejadian A dan B tidak mempunyai irisan

Sehingga P(A Ç B) = 0

RUMUS : P(A È B) = P(A) + P(B)

- Kejadian Saling Bebas

Terjadi apabila kejadian satu tidak dipengaruhi oleh kejdian lainnya

RUMUS : P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

2.3.8 Teorima Bayes

Bila ( A1, A2…., An) merupakan partisi atau sekatan dari ruang sampel S masing-masing mempunyai peluang terjasdinya > 0 , dan bila terjadi sembarang peristiwa B yang mempunyai peluang terjadinya tidak sama dengan 0, maka untuk sembarang bilangan bulat k dimana 1≤k≤n. teorima bayes dari seluruh kemingkinan kejadian di atas dapat dirumuskan :

P(Ak)P(B/Ak)

P(Ak/B) = P(A1)P(B / A)+P( B / A2 …+ P (An)P(B / An)

Catatan :

A1 , A2 ,….An masing-masing disebut hipotesis , P(Ak) merupakan peluang a priori terjadinya hipotisis Ak sedangkan P(Ak / B) merupakan peluang a posteriori terjadinya hipotesis Ak setelah peristiwa B terjadi lebih dulu.

Sebuah perkantoran biasanya membutuhkan tenaga listrik yang cukup agar semua aktifitas pekerjaannya terjamin dari adanya pemutusan aliran listrik.Terdapat dua sumber listrik yg digunakan PLN dan Generator. Bila listrik PLN padam maka secara otomatis generator akan menyala dan memberikan aliran listrik untuk seluruh perkantoran. Masalah yang selama ini menganggu adalah ketidakstabilan arus(voltage)listrik, baik dari PLN maupun generaor, yang akan merusak peralatan listrik.Selama beberapa tahun terakhir, diketahui bahwa probabilitas terjadinya listrik padam adalah 0.1, dgn kata lain peluang bahwa perkantoran itu menggunakan listrik PLN adalah 0.9 dan peluang menggunakan generatoradalah 0.1.Peluang terjadi ketidakstabilan pada arus listrik PLN maupun generator masing-masing 0.2 dan 0.3.

Permasalahan ini dapat diilustrasikan sbb:

E : Peristiwa listrik PLN digunakan

Ec : Peristiwa listrik Generator digunakan

A : Peristiwa terjadinya ketidak stabilan arus

Peristiwa A dapat ditulis sebagai gabungan dua kejadian yang saling lepas dan jadi :

Dengan menggunakan probabilitas bersyarat maka :

Diketahui:

P(E)=0.9 P(E’)=0.1

P(A|E)=0.2 P(A|E’)=0/3

Sehingga :

P(A)=P(E).P(A|E)+P(E’).P(A|E’)

=(0.9).(0.2)+(0.2).(0.3)

=0.21

Kembali pada permasalahan diatas, bila suatu saat diketahui terjadi ketidakstabilan arus listrik, maka berapakah probabilitas saat itu aliran listrik berasal dari generator? Dengan menggunakan rumus probalilitas bersyarat diperoleh:

P(E’|A) =P(E’∩A)/P(A)

=P(E’).P(A|E’)/P(A)

=0.03/0.21=0/143

Peristiwa B1,B2,….,Bk merupakan suatu sekatan(partisi) dari ruang sampel S dengan P(Bi)≠0 untuk i=1,2,…,k maka setiap peristiwa A anggota S berlaku:

Berikut k=3

Digunakan bila ingin diketahui probabilitas P(B1|A),P(B2|A)….,P(Bk|A) dengan rumus sebagai berikut :

Suatu generator telekomunikasi nirkabel mempunyai 3 pilihan tempat untuk membangun pemancar sinyal yaitu didaerah tengah kota, daerah kaki bukit dikota itu dan derah tepi pantai, dengan masing-masing mempunyai peluang 0.2; 0.3 dan 0.5. Bila pemancar dibangun ditengah kota, peluang terjadi ganguan sinyal adalah 0.05. Bila pemancar dibangun dikaki bukit, peluang terjadinya ganguan sinyal adalah 0.06.Bila pemancar dibangun ditepi pantai, pelaung ganguan sinyal adalah 0.08.

A. Berapakah peluang terjadinya ganguan sinyal?

B. Bila diketahui telah terjadinya gangguan pada sinyak pada sinyal, berapa peluang bahwa operator tsb ternyata telah membangun pemancar di tepi pantai?

Misal:

A = Terjadi ganguan sinyal

B1 = Pemancar dibangun di tengah kota

B2 = —————————-di kaki bukit

B3 = —————————-di tepi pantai

Maka :

A). Peluang terjadinya ganguan sinyal

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)

= (0,2).(0.05)+(0.3)(0.06)+(0.5)(0.08)=0.001+0.018+0.04=0.068

B).Diketahui telah terjadi ganguan pd sinyal, maka peluang bahwa operator ternyata telah membangun pemancar di tepi pantai:

Dapat dinyatakan dgn: “Peluang bersyarat bahwa operator membangun pemancar di tepi pantai bila diketahui telah terjadi ganguan sinyal”:

2.3.9 Harapan Mathematics

Peristiwa-peristiwa A1 , A2 , …, An merupakan peristiwa-peristiwa yang berdiri sendiri. Saling mengasingkan, dan lengkap terbatas jumlah berturut-turut mempunyain peluang terjadinya sebesar p1 , p2 … pn . bila seseorang mengharap kan sejumlah uang. Sebesar x1 untuk terjadi peristiwa A1 , sebesar x2 untuk terjadinya keuntungan yang diharapkan atau harapan matematis orang tersebut dari terjadinya seluruh peristiwa-peristiwa tersebut diatas merupakn jumlah hasil kali p dan x yang secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut :

ME = px

Catatan

Pengertian harapan matematis sering diidentikan dengan nilai harapan atau expected value terjadinya variable tertentu dan sering juga diindentikan dengan rata-rata sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut :

ME = E = µ

Pengertian harapan matenmatis sering juga dihubung-hubungkan dengan permainan atau usaha. Suatu permainamn atau usaha dikatakan menguntungkan bila mempunyai ME>0 atau pasitif, merugikan apabila mempunyai ME<0 atau negative dan tidak untung atau tidak rugi atau jujur atau “fair” bila menpunyai ME = 0

Jika X1, X2, X3, …, Xn merupakan peubah acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(x) ³ 0, atau X1, X2, …, Xn merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan probabilitas f(x) ³ 0, maka nilai harapan dari peubah acak tersebut dapat ditulis sebagai berikut

Sifat-sifat untuk nilai harapan :

- Jika a konstanta, maka

Misalnya

x	0	1	2	3
P(x)	1/3	½	0	1/6

Nilai harapan untuk fungsi g(x) = (x-1)² adalah

Penyelesaian :

Contoh :
Jika X merupakan peubah acak kon-tinu dengan fungsi kepekatan peluang
f(x) = 1/3 x2, -1 < x < 2
=0 untuk selainnya,

1.Nilai harapan untuk fungsi g(x) = 2x – 1 adalah

2. Nilai harapan untuk fungsi h(x) = 3x + 2 adalah

Dalil (diskrit):

Misalkan X suatu peubah acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(x), maka nilai harapan dari suatu fungsi g(x) adalah

Contoh :
Misalkan X merupakan peubah acak diskrit dengan ruang sampel A = {x; x = 0, 1, 2, 3, 4} dan misalkan P(A) = åA p(x), di mana

Dalil (kontinu) :

Misalkan X suatu peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan probabilitas f(x), maka nilai harapan dari suatu fungsi g(x) adalah

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dari jabaran diatas dapat kita simpulkan bahwa:

1. Probabilitas adalah kemungkinan yang terjadi berdasarkan keadaan yang telah ada.

2. Probabilitas ada dua macam, yaitu: Probabilitas a priori dan Probabilitas relative frekuensi.

3. tindakan yang kita ambil berdasarkan resiko yang mungkin timbul dari pilihan kita berkaitan dengan probabilitas yang ada

3.2 Saran

Saran yang dapat penulis sampaikan adalah gunakanlah probabilitas ini untuk keperluan yang baik dan bermanfaat bagi diri sendiri atau orang banyak. Jangan sekali-kali menjadi musyrik dengan pengetahuan tentang probabilitas ini. Semua yang akan terjadi atau yang telah terjadi yakinlah itu semua telahdirencanakan oleh Allah SWT.

Demikian makalah ini penulis sampaikan, disini penulis menyadari sepenuh hati, bahwa dalam penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Hal itu dikarenakan keterbatasan kemampuan penulis. Saran dan kritik yang membangun sangat penulis tunggu guna memperbaiki pembuatan makalah dikemudian hari. Demikian dan terimakasih.

DAFTAR PUSTAKA

J. Suprapto (2008). Statistika: Teori dan Aplikasi, Edisi 7. Jakarta: Penerbit Erlangga.

http://tyarhashawol.blogspot.com/2012/12/probabilitas-dan-statistika_31.html

http://rumus-mtk.blogspot.com/2012/10/teori-peluang-ruang-sampel-dan-titik.html

http://sainsmatika.blogspot.com/2012/03/probabilitas-peluang.html

http://www.idomaths.com/id/peluang5.php

http://probstat7.blogspot.com/2013/05/teorema-bayes.html

http://rumushitung.com/2013/04/06/permutasi-dan-kombinasi-matematika/